“Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê” là tài liệu được biên soạn cho các sinh viên ngành Khoa học Xã hội như: Công tác Xã hội, Việt Nam học, Thư viện Thông tin, Giáo dục Thể chất,… Mục đích của bài giảng là trang bị cho các sinh viên kiến thức về thống kê trong khoa học xã hội từ đó nghiên cứu, thu thập và xử lý thông tin kinh tế – xã hội…

Đang xem: Thống kê trong khoa học xã hội

*

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP ———————–THỐNG KÊ TRONG KHOA HỌC XÃ HỘI Dùng cho các lớp thuộc ngành xã hội ĐỒNG THÁP 2014-2015 MỞ ĐẦU “Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê” là tài liệu được biên soạn cho các sinhviên ngành Khoa học Xã hội như: Công tác Xã hội, Việt Nam học, Thư viện Thôngtin, Giáo dục Thể chất,… Mục đích của bài giảng là trang bị cho các sinh viên kiến thức về thống kê trongkhoa học xã hội từ đó nghiên cứu, thu thập và xử lý thông tin kinh tế – xã hội… Bài giảng bao gồm 4 chương. Chương 1: Khái quát những khái niệm cơ bản về lýthuyết xác suất để làm nền tảng cho việc nhiên cứu phần thống kê. Bao gồm: xác suấtcổ điển, xác suất theo quan điểm thống kê, tính chất của xác suất, các biến ngẫu nhiên,hàm phân phối và một số phân phối quan trọng. Chương 2: Mẫu ngẫu ngẫu nhiên vàước lượng tham số. Chương này mục đích đưa ra các khái niệm về mẫu ngẫu nhiên,các đặc trưng mẫu và các ước lượng tham số. Chương 3: Kiểm định giả thiết. Chươngnày trình bày một số bài toán kiểm định giả thiết như: kiểm định trung bình, kiểmđịnh tỷ lệ, kiểm định phương sai, kiểm định tính độc lập, quy luật phân phối và cácbài toán so sánh.Chương 4 trình bày về tương quan và hồi quy tuyến tính. Trong tất cả các chương đưa ra đều có những ví dụ minh họa cụ thể cho từng dạngbài toán, sau cuối của mỗi chương đều có hệ thống bài tập khá đa dạng và phong phú. Vì nhiều lý do, chắc chắn bài giảng không tránh khỏi những sai xót. Chúng tôimong được sự đóng góp của đồng nghiệp và các bạn sinh viên. Tác giả 2 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Chương 1. Các khái niệm cơ bản về xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Bổ túc về giải tích tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Các nguyên lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4. Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5. Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.6. Công thức nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Phép thử ngẫu nhiên và biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Phép thử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.2.3. Quan hệ và phép toán giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Các định nghĩa về xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1. Định nghĩa xác suất theo cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2. Định nghĩa xác suất theo tần suất và thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3. Tính chất của xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Các công thức xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên và hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.3. Biến ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.1. Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.2. Phương sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 1.6.3. Mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6.4. Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7. Một số phân phối thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.1. Phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.2. Phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.3. Phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7.4. Tính gần đúng phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8. Véc tơ ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8.2. Biến ngẫu nhiên liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8.3. Các đặc trưng của véctơ ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Bài tập chương 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30Chương 2. Lý thuyết chọn mẫu và ước lượng tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1. Mẫu ngẫu nhiên và hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1. Mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2. Hàm phân phối – Đa giác tần số và tổ chức đồ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.3. Mẫu ngẫu nhiên hai chiều . . . . . . . . . . . . . . .

Xem thêm: Cổng Thông Tin Đào Tạo Sau Đại Học Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh

Xem thêm: Kỹ Thuật Ô Tô Đại Học Bách Khoa Đhqg, Điểm Chuẩn Ngành Kỹ Thuật Ô Tô Năm 2021

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.4. Các đặc trưng mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2. Ước lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.1. Ước lượng không chệch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 2.2.2. Ước lượng vững. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.3. Ước lượng hiệu quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.4. Ước lượng hợp lý cực đại. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.5. Ước lượng điểm cho kỳ vọng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.6. Ước lượng điểm cho phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.4. Ước lượng điểm cho xác suất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3. Ước lượng khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1. Ước lượng khoảng đối với giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.2. Ước lượng khoảng đối với giá trị tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3.3. Ước lượng khoảng đối với phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Bài tập chương 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58Chương 3. Kiểm định giả thiết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 3.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2. Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.1. Trường hợp phương sai σ 2 đã biết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.2. Trường hợp phương sai σ 2 chưa biết n ≥ 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2.3. Trường hợp phương sai σ 2 chưa biết n 3.3.1. Kiểm định hai phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.2. Kiểm định một phía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4. Kiểm định phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4.1. Trường hợp chưa biết µ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4.2. Trường hợp đã biết µ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 3.5. Kiểm định về tính độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.6. Kiểm định giả thiết về luật phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.7. Bài toán so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.1. Bài toán so sánh hai giá trị trung bình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.2. Bài toán so sánh hai giá trị tỷ lệ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 Bài tập chương 3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92Chương 4. Tương quan và hồi quy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1. Tương quan tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.3. Hệ số tương quan mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.4. Ý nghĩa của hệ số tương quan mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2. Hồi quy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Bài tập chương 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Các bảng số thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5Chương 1 Các khái niệm cơ bản về xác suất1.1 Bổ túc về giải tích tổ hợp1.1.1 Các nguyên lý đếm cơ bản a) Nguyên lý cộng Giả sử có k công việc, việc thứ nhất có n1 scách làm, việc thứ hai có n2 cách làm,…,việc thứ k có nk cách làm,… các công việc này không làm đồng thíi. Khi đó ta có n1 + n2+ … + nk cách làm k công việc trổn. b) Nguyên lý nhân. Giả sử hành động H được thực hiện qua k giai đoạn liên tiếp H1 , H2 , H3 , …, Hk .Giai đoạn H1 có n1 cách làm,…,Hk có nk cách làm.Khi đó n1 .n2 …nk cách làm công việc H.1.1.2 Hoán vịĐịnh nghĩa 1.1.1. Cho tập M có n phần tử, mỗi cách sắp xếp n phần tử này theomột thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của tập M . Gọi số các hoán vị của tập M là: Pn = n! = 1.2.3…(n − 1)nVí dụ 1. a) Ta có 3 người A, B, C xếp vào 3 chỗ ngồi. Khi đó ta có 3! = 3.2.1 = 6 cáchxếp như sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA b) Số cách sắp xếp cho 80 sinh viên vào 80 chỗ ngồi là P80 = 80!1.1.3 Chỉnh hợpĐịnh nghĩa 1.1.2. Cho tập M có n phần tử, 0 ≤ k ≤ n, một chỉnh hợp chập k của nphần tử là một bộ sắp thứ tự (phân biệt) lấy từ n phần tử đã cho và được ký hiệu là n! Akn = (n − k)! 6Ví dụ 2. a) Cho ba phần tử 2,3,5. Các chỉnh hợp chập 2 của ba phần tử đó là: 23, 25, 32, 35, 52, 53 b) Mỗi lớp phải học 6 môn, mỗi ngày học 2 môn. Hỏi có bao nhiêu cách xắp xếpthời khóa biểu cho mỗi ngày. HD: Vì mỗi cách xắp xếp thời khóa biểu trong một ngày là ghép 2 môn trong 6môn. Các cách này do ít nhất 1 môn khác nhau hoặc chỉ do thứ tự sắp xếp trước saugiữa hai môn. Vì thế mỗi cách sắp xếp ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 6. A26 = 301.1.4 Chỉnh hợp lặpĐịnh nghĩa 1.1.3. Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là 1 nhóm thứ tự gồm k phầntử lấy từ n phần tử đã cho trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1,2, 3,….k lần trong knhóm tạo thành. Ký hiệu An = nkVí dụ 3. a) Cho ba phần tử 2,3,5. Các chỉnh hợp lặp chập 2 của ba phần tử đó là: 22, 23, 25, 32, 33, 35, 52, 53, 55b) Để đăng ký mỗi loại máy mới người ta dùng 3 con số trong 9 con số 1,2,….9. Hỏi cóthể đánh số được bao nhiêu máy. kMỗi số của máy là chỉnh hợp lặp chập 3 của 9 số: An = 93 = 7291.1.5 Tổ hợpĐịnh nghĩa 1.1.4. Tổ hợp chập k của n phần tử, 0 ≤ k ≤ n là một tập con của kphần tử lấy từ n phần tử đã cho và được ký hiệu là Akn n! Cnk = = k! k!(n − k)!Ví dụ 4. Có 10 đội bóng đá thi đấu với nhau theo thể thức vòng tròn một lượt. Hỏicó bao nhiêu trận đấu?HD: Ta thấy mỗi trận đấu giữa 2 đội đấu với nhau là 1 tổ hợp chập 2 của 10 phần tử 2(Vì hai đội đấu với nhau không cần xếp thứ tự) C10 = 451.2 Phép thử ngẫu nhiên và biến cố1.2.1 Phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên là một hành động mà ta chưa biết trước được kết quả của nó.Tuy chưa biết trước được kết quả của phép thử nhưng biết được tập tất cả các khả 7năng và ký hiệu là Ω và gọi là không gian biến cố sơ cấp.Mỗi ω ∈ Ω gọi là biến cố sơ cấp. Ta ký hiệu phép thử là GVí dụ 5. a) Tung đồng tiền thì Ω = {S, N }b) Tung con xúc xắc: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}1.2.2 Biến cố Khi thực hiện một phép thử có rất nhiều câu hỏi liên quan đến kết quả của nó. Mộtsự kiện liên quan đến phép thử mà việc nó xảy ra hay không xảy ra phụ thuộc hoàntoàn vào phép thử gọi là một biến cố ngẫu nhiên. Ký hiệu A, B, C, …Biến cố sơ cấp ω gọi là thuận lợi cho biến A nếu khi kết quả của phép thử là ω thì Axảy raBiến cố không thể là biến cố không thể xảy ra và ký hiệu là: ∅Biến cố chắc chắn: là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phếp thử, ký hiệu là: ΩVí dụ 6. Tung con xúc xắc ⇒ Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Biến cố xuất hiện mặt chấm lẻ là A ⇒ A = {1, 3, 5}Biến cố xuất hiện mặt chấm nhỏ hơn 5 là B: ⇒ B = {1, 2, 3, 4}1.2.3 Quan hệ và phép toán giữa các biến cố. a. Quan hệ kéo theoBiến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra. Ký hiệu A ⊂ B b. Quan hệ bằngHai biến cố A, B gọi là bằng nhau. Ký hiệu A=B nếu A ⊂ B, A ⊃ B c. Giao của hai biến cốGiao của haibiến cố là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi A, B đồng thời xảy ra. Kýhiệu A ∩ B hoặc ABTQ: A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi với mọi Ai xảy ra. d. Hợp của hai biến cốHợp của haibiến cố là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra. Ký hiệuA∪BTQ: A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một Ai xảy ra. e. Hiệu của hai biến cố.Hiệu của hai biến cố A và B ký hiệu là A B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi Axảy ra và B không xảy ra. g. Biến cố đốiBiến cố đối của biến cố A là A, là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. h. Biến cố xung khắcHai biến cố A và B là xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra, tức là AB = ∅.Biến cố đối thì xung khắc. h. Nhóm đầy đủ các biến cốNhóm n biến cố A1 , A2 , …, An gọi là nhóm đầy đủ các biến cố nếu. 8i) Chúng xung khắc với nhau đôi một Ai Aj = ∅, (i 6= j)ii) Hợp của chúng là biến cố chắc chắn A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An = ΩVí dụ 7. Hai xạ thủ mỗi người bắn một viên đạn vào đích.Gọi Ai là biến cố người thứ i trúng đích. Hãy viết biến cố sau qua A1 , A2a. Biến cố chỉ người thứ nhất trúng đích: A1 A2b Có 1 người bắn trúng đích: A1 A2 ∪ A2 A1c. Có ít nhất một người bắn trúng đích: A1 ∪ A2d. Không có ai bắn trúng: A1 A21.3 Các định nghĩa về xác suất1.3.1 Định nghĩa xác suất theo cổ điển Giả sử không gian biến cố sơ cấp Ω của phép thử G có n kết quả đồng khả năngvà có m kết quả thuận lợi cho biến cố A. Khi đó xác suất của biến cố A được ký hiệuvà được định nghĩa là m P (A) = nVí dụ 8. Một hộp có 16 quả cầu đen và 4 quả cầu đỏ lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu. Hãytính xác suấta) Lấy được hai quả cầu đen.b) Lấy được 1 quả cầu đen, một quả đỏ. HD:a) Gọi A là biến cố lấy được hai quả cầu đen. Khi đó 2 2 2 C16 n = C20 , m = C16 ⇒ P (A) = 2 C20b) Gọi B là biến cố lấy được 1 quả đen, 1 quả đỏ thì 1 C16 C41 P (B) = 2 C20Ví dụ 9. Một nhóm học tập có 10 hs, trong đó có 7 hs yếu. Kiểm tra ngẫu nhiên 3 em.Tính xác suất để:a) Ba em kiểm tra là học sinh yếub) Trong 3 em được kiểm tra có 1 em yếuc) Có ít nhất 1 học sinh yếu được kiểm tra.1.3.2 Định nghĩa xác suất theo tần suất và thống kê Một phép thử được thực hiện n lần mà có m biến cố A xuất hiện thì tỷ số m/n gọilà tần suất của biến cố A Khi n thay đổi, tần suất m/n cũng thay đổi nhưng nó luôn dao động quanh một sốcố định nào đó, n càng lớn thì m/n càng gần số cố định đó. Số cố định này được gọi là 9xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê. Trên thực tế khi n đủ lớn ta xấp xỉ P (A)bởi m/n tức là m P (A) = n1.3.3 Tính chất của xác suất 1) 0 ≤ P (A) ≤ 1, P (∅) = 0, P (Ω) = 1 2) P (A) = 1 − P (A). 3) Nếu A ⊂ B thì P (A) ≤ P (B) với P (B/A) = P (B) − P (A). 4) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB)Ví dụ 10. Một hộp cứa 5 cầu trắng, 3 cầu xanh và 4 cầu đen cùng kích thước, chọnngẫu nhiên cùng lúc 3 cầu. Tìm xác suất để.a) Cả 3 cầu cùng mầu (A)b) Có đúng 2 cầu cùng mầu(B)c) Có ít nhất hai cầu cùng mầu(C)d) Cả 3 cầu khác mầu nhau(D)HD:a) Gọi A1 = { 3 quả cầu rút ra đều mầu trắng}A2 = { 3 quả cầu rút ra cùng mầu đen}A3 = { 3 quả cầu rút ra đều mầu xanh}Khi đó: A = A1 + A2 + A3 =⇒ P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 C53 + C33 + C43 3 =⇒ P (A) = 3 = C12 44b) Gọi B1 = { 2 quả cầu rút ra cùng mầu trắng}B2 = { 2 quả cầu rút ra cùng mầu đen}B3 = { 2 quả cầu rút ra cùng mầu xanh} C52 C71 + C42 C81 + C32 C91 29 =⇒ P (B) = P (B1 ) + P (B2 ) + P (B3 ) = 3 = C12 44 32c) P (C) = P (A) + P (B = 44d) Cách1: P (D) = 1 − P (C)Cách2: làm trực tiếp C51 C31 C41 3 P (D) = 3 = C12 111.4 Dãy phép thử Bernoulli và công thức nhị thức Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra biến cố này không ảnhhưởng đến khả năng xảy ra của biến cố khác Hai phép thử gọi là độc lập với nhau nếu việc thực hiện và kết quả của phép thửnày không ảnh hưởng và không phụ thuộc vào phép thử kia 10Định nghĩa 1.4.1. Dãy n phép thử gọi là dãy n phép thử Bernoulli đối với biến cố Anếu thoả mãn các điều kiện sau:• Chúng là n phép thử lặp.• Các phép thử đó là độc lập.• Mỗi phép thử biến cố A xuất hiện với xác suất đều bằng p. Công thức nhị thứcXác suất để trong n phép thử Bernoulli biến cố A xuất hiện đúng k lần là: Pn (k) = Cnk pk (1 − p)n−k = Cnk pk (q)n−k = Pn (k, p)Công thức trên gọi là công thức xác suất nhị thức. Số khả năng nhấtGiả sử G1 , G2 , …, Gn là n phép thử Bernoulli, xác suất xuất hiện A k lần là Pk = Cnk pk q n−k , (0 ≤ k ≤ n)Khi đó số k0 , (0 ≤ k0 ≤ n) được gọi là số có khả năng nhất nếu Pk0 = max Pk 0≤k0 ≤ntrong đó k0 được tính theo công thức sau: ( np − q và np − q + 1 nếu np − q nguyên k0 = nếu np − q không nguyênVí dụ 11. Tung đồng tiền 5 lần. Tính xác suất để mặt sấp xuất hiện k lần.HD: Đây là 5 phép thử Bernoulli đối với biến cố A xuất hiện mặt sấp với p = 12 .• Xác suất biến cố A xuất hiện 0 lần là: 1 1 1 P5 (0) = C50 ( )0 ( )5 = 2 2 32• Xác suất để A xuất hiện 1, 2, 3, 4, 5 lần 1 1 5 1 1 10 P5 (1) = C51 ( )1 ( )4 = ; P5 (2) = C52 ( )2 ( )3 = 2 2 32 2 2 32 1 1 10 1 1 5 P5 (3) = C53 ( )3 ( )2 = ; P5 (4) = C54 ( )4 ( )1 = 2 2 32 2 2 32 1 1 1 P5 (5) = C55 ( )5 ( )0 = 2 2 32Ta thấy k = 2 hoặc k = 3 thì P5 (k) lớn nhất và ta nói 2, 3 là số có khả năng nhất. 11Ví dụ 12. Kết quả điều tra về bệnh lao, tỷ lệ người bị lao ở vùng nọ là 0, 001. Tìm xácsuất để khi khám cho 10 người.a. Không có ai bị lao.b. 5 người bị lao.c. Ít nhất một người bị lao.d. Số người không bị lao có khả năng nhất.HD: Ta có 10 phép thử Bernoulli, với biến cố A là ” người được khám bị lao” suy raP (A) = 0.001a. P10 (n, p) = P10 (0, 0.001) 0 = C10 (0.001)0 (1 − 0.001)10 = (0.999)10b. 5 P10 (5, 0.001) = C10 (0.001)5 (0.999)5c. 10 X P10 (k ≥ 1, 0.001) = Ck10 (0.001)k (0.999)10−k k=1 = 1 − P10 (0, 0.001) = 1 − (0.999)10d. Ta có q = 1 − p = 1 − 0.001 = 0.999 mà q(1 + n) = 11.0, 999 = 10, 989 không phảilà số nguyên do đó số người không bi bệnh lao có khả năng cao nhất là 10.1.5 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối1.5.1 Khái niện biến ngẫu nhiên và hàm phân phối Khái niệm biến ngẫu nhiênMột đại lượng mà giá trị của nó là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được gọi là mộtđại lượng ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên) và ký hiệu bằng chữ X, Y, Z,…Hoặc một đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị của nó với xác suất tương ứng nào đógọi là đại lượng ngẫu nhiên hay là biến ngẫu nhiênCó hai loại biến ngẫu nhiên chính đó là: Biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiênliên tục Hàm phân phối xác suấtHàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu và xác định như sau: FX (x) = P 1 Tính P {− 12 Ví dụ 19. Cho X liên tục có hàm mật độ ( 0 nếu x ∈/ p(x) = 1 b−a nếu x ∈ Khi đó +∞ b 1 x2 b a + b Z Z 1 EX = xp(x)dx = EX = x dx = | = −∞ a b−a b−a 2 a 21.6.2 Phương saiĐịnh nghĩa 1.6.2. Phương sai của biến ngẫu nhiên X ký hiệu là DX được xác định DX = E(X − EX)2 X 2  (xi − EX) pi nếu X rời rạc và có bảng phân phối   DX = Z i +∞ (x − EX)2 f (x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ f(x)    −∞ Tính chất của phương sai • DX = EX 2 − (EX)2 •D(aX) = a2 DX, (a=const) •D(X + a) = DX •D(X ± Y ) = DX + DY , nếu X, Y độc lập. • DX ≥ 0 Ý nghĩa của phương saiPhương sai của biến ngẫu nhiên là độ lệch trung bình của X xung quanh gia trị kỳvọng EX nếu DX bé thì giá trị của X tập trung xung quanh kỳ vọng, ngược lại DXlớn thì giá trị của X phân tán xung quanh kỳ vọng1.6.3 Mod Mốt là giá trị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là xmod mà tại đó hàm mật độ f (x)đạt cực đại, trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc, xmod là giá trị, mà xác suất đểX = xmod .1.6.4 Median Trung vị (Međian) là giá trị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu xM e hoặc m(X), màtại đó• Nếu X là rời rạc thì F (xi ) ≤ 1/2 ≤ F (xi+1 ) ⇒ m(X) = xi 1 1• Nếu X là liên thục thì F (xM e ) = 2 hoặc F = 2 171.7 Một số phân phối thường gặp1.7.1 Phân phối nhị thứcĐịnh nghĩa 1.7.1. Biến ngẫu nhiên X gọi là phân phối nhị thức với tham số n, p kýhiệu X ∼ B(n, p) nếu X nhận các giá trị 0, 1, …, n với xác suất Pk = P (X = k) = Cnk pk q n−k Các số đặc trưng.Nếu X ∼ B(n, p) thì EX = np, DX = npq, (n + 1)p − 1 ≤ M odX ≤ (n + 1)pVí dụ 20. Tỷ lệ phế phẩm của một loại sản phẩm là 1% , người ta lấy ngẫu nhiên cóhoàn lại 100 sản phẩm để kiểm tra. 1. Tính xác suất có 2 sản phẩm 2. Hỏi trung bình có bao nhiêu sản phẩm 3. Khả năng có bao nhiêu sản phẩm(Mod) Có 2-5 sản phẩmHD1. Gọi X là số sản phẩm suy ra X ∼ (100; 0, 01) 2 P = C100 (0.01)2 (0, 99)9 982. EX = np = 0, 01 × 1003. np − q ≤ M odX ≤ np + q ⇒ 0, 01 × 100 − 0, 99 ≤ M odX ≤ 0, 01 × 100 + 0, 99 ⇒ M odX = …(∈ Z)4. P <2 ≤ X ≤ 5> = P + P + P + P 1.7.2 Phân phối PoissonĐịnh nghĩa 1.7.2. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối theo quy luật Poisson vớitham số λ > 0. Ký hiệu X ∼ f (λ), nếu X nhận các giá trị 0, 1, … với xác suất tươngứng λk P (X = k) = e−λ k!Tức là ta có bảng: X 0 … k … n …. k n −λ P e … e−λ λk! …. e−λ λn! … 18 k X λi Chú ý: Ta có bảng tính sẵn P (X ≤ k) = e−λ i=0 i! Các đặc trưngNếu X ∼ f (λ) thì EX = DX = λ; M odX = <λ>Ví dụ 21. Một ga ra cho thuê ô tô, thấy rằng số người đến thuê ô tô vào ngầy thứ 7 làmột biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số λ = 2. Giả sử ga ra có 4 chiếcô tô. Hãy tính xác suất.a) Không phải cả 4 chiếc đều được thuê.b) Tất cả 4 ô tô đều được thuêc) Ga ra không đáp ứng được nhu cầud) Trung bình có bao nhiêu ô tô được thuê?1.7.3 Phân phối chuẩn a) Phân phối chuẩn tắcĐịnh nghĩa 1.7.3. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn tắc, ký hiệu X ∼N (0, 1) nếu X có hàm mật độ 1 x2 ϕ(x) = √ e− 2 , (x ∈ R) 2π Đặc trưngNếu X ∼ N (0, 1) thì EX = 0, DX = 1 Hàm phân phối chuẩn tắc của X được ký hiệu là: Z x Z x 1 t2 φ(x) = ϕ(t)dt = √ e− 2 dt −∞ 2π −∞Chú ýi) φ(−x) = 1 − φ(x)ii) φ(x > 3, 9) = 1 b) Phân phối chuẩnĐịnh nghĩa 1.7.4. Biến ngẫu nhiên gọi là có phân phối chuẩn với tham số (µ, σ 2 ), kýhiệu là X ∼ N (µ, σ 2 ), nếu X−µ σ có phân phối chuẩn tắc. Đặc trưng:Nếu X ∼ N (µ, σ 2 ) thì EX = µ, DX = σ 2Xác suất để biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn nhận giá trị trong mộtđoạn.Nếu X ∼ N (µ, σ 2 ). Khi đó 19 a−µ X −µ b−µ P (a 30; np > 5)Ta có thể tính xấp xỉ phân phối nhị thức B(n, p) bằng phân phối chuẩn N (µ; σ 2 ) vớiµ = np, σ 2 = npq. Cụ thể là: 1• pk = p(X = k) = Cnk pk q n−k ≈ √npq ϕ(z) với z = (x−np) √ npq• p(a ≤ X 75 b)Số lần xảy ra A không quá 74 c) số lần xảy ra A trong khoảng 75-90. HDGọi X là số lần xảy ra A: X ∼ B(100, 0, 8)a) Ta có µ = 0, 8.100 = 80; σ 2 = 0, 2.0, 8.100 = 16 ⇒ σ = 4. Khi đó P 75> = P <75

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *